Today's lesson will review the concepts of distance, La lección de hoy revisará los conceptos de distancia, rate, and time, as well as explore how to model tasa y tiempo, y explorará cómo modelar and apply the concepts to real world scenarios. y aplicar los conceptos a escenarios del mundo real. First, we must accept Primero, debemos aceptar that there is a mathematical relationship que hay una relación matemática between distance, rate, and time. entre distancia, tasa y tiempo. Distance is a physical length, La distancia es una longitud física, or how far apart two objects or points are. o qué tan separados están dos objetos o puntos. Distance is measured in miles, meters, feet, yards, La distancia se mide en millas, metros, pies, yardas, and other common units of measurement. y otras unidades comunes de medida. Rate in this context is like speed Tasa en este contexto es como la velocidad typically labeled in distance per time. típicamente etiquetada en distancia sobre tiempo. You might be familiar with many common rates Es posible que estés familiarizado con muchas velocidades comunes such as speed in miles per hour como la velocidad en millas por hora. for those familiar with speed limits signs, Para aquellos familiarizados con las señales de límites de velocidad, or meters per second for those who run track o metros por segundo para los que corren en pista or play sports that emphasize speed. o practiquen deportes que enfaticen la velocidad, Time is commonly measured in seconds, minutes, hours, el tiempo se suele medir en segundos, minutos, horas, and even days, weeks, and years. e incluso días, semanas y años. It will be important to pay attention Será importante prestar atención to the unit of measurement a la unidad de medida for each variable in our applications para cada variable en nuestras aplicaciones so we can accurately solve the problems. para que podamos resolver los problemas con precisión. What is the relationship between distance, rate, and time? ¿Cuál es la relación entre la distancia, la velocidad y el tiempo? Looking at a simple scenario will help us understand Mirar un escenario simple nos ayudará a entender and is an effective problem-solving tool. y es una herramienta efectiva para resolver problemas. Suppose we want to analyze the distance Supongamos que queremos analizar la distancia over time that a train will travel con el tiempo que viajará un tren at the constant rate of 50 miles per hour. a una velocidad constante de 50 millas por hora. We can use a table to help us stay organized. Podemos usar una tabla para ayudarnos a mantenernos organizados. The rate 50 miles per hour remains constant. La velocidad de 50 millas por hora permanece constante. As time increases, the distance traveled will also increase. A medida que aumenta el tiempo, la distancia recorrida también aumentará. After one hour at a rate of 50 miles every hour, Después de una hora a una velocidad de 50 millas cada hora, the distance traveled will be 50 miles. la distancia recorrida será de 50 millas. What if that rate was maintained for two hours? ¿Y si esa velocidad se mantuviera durante dos horas? That would be 50 miles for the first hour Serían 50 millas durante la primera hora and another 50 miles traveled for the second hour, y otras 50 millas recorridas durante la segunda hora, making the total distance traveled 100 miles. haciendo que la distancia total recorrida sea de 100 millas. A third hour of traveling time would add another 50 miles. Una tercera hora de tiempo de viaje agregaría otras 50 millas. At four hours, 200 miles would've been traveled. A las cuatro horas, se habrían recorrido 200 millas. We begin to see this pattern Empezamos a ver este patrón and notice that there is a more efficient way y observamos que hay una manera más eficiente to calculate the distance traveled. para calcular la distancia recorrida. The distance is equal to the product of the rate and time. La distancia es igual al producto de la velocidad y el tiempo. The rate is 50 miles per hour, La velocidad es de 50 millas por hora, so with t time the distance would be 50t. entonces con el tiempo 't' la distancia sería 50t. This becomes a basic algebraic equation Esto se convierte en una ecuación algebraica básica we can use to solve problems by substituting in what we know que podemos usar para resolver problemas sustituyendo lo que sabemos and algebraically solving for the missing variable. y resolviendo algebraicamente la variable faltante. You have studied this process previously Has estudiado este proceso previamente when you explored literal equations. cuando exploraste las ecuaciones literales. In this lesson though, we will solve application problems Sin embargo, en esta lección, resolveremos problemas de aplicación involving distance, rate, and time. involucrando la distancia, la velocidad y el tiempo. Now that we remember the basic concepts Ahora que recordamos los conceptos básicos of the relationship between them, de la relación entre ellos, we can jump into an application problem. podemos saltar a un problema de aplicación. Continue to follow along using your study guide. Continúa siguiendo con tu guía de estudio. Two cars leave Springfield at the same time Dos autos salen de Springfield al mismo tiempo and travel in the same direction on the interstate. y viajan en la misma dirección en la interestatal. One car travels at a constant speed of 52 miles per hour Un auto viaja a una velocidad constante de 52 millas por hora and the other car travels y el otro auto viaja at a constant speed of 55 miles per hour. a una velocidad constante de 55 millas por hora. In how many hours will the cars be 12 miles apart? ¿En cuántas horas estarán los autos a 12 millas de distancia? You can pause the video to have more time Puedes pausar el vídeo para tener más tiempo with the given application. con la aplicación dada. Take time to read it again Tómate el tiempo para leerlo de nuevo or underline important information on your study guide. o subraya la información importante en tu guía de estudio. We will create a graphic organizer, a simple table, Crearemos un organizador gráfico, una tabla sencilla, to help us stay organized and better solve this problem. para ayudarnos a mantenernos organizados y resolver mejor este problema. We know the rate at which car one travels a la que viaja uno de los autos is 52 miles per hour es de 52 millas por hora and car two's rate is 55 miles per hour. y la velocidad del auto dos es de 55 millas por hora. Both vehicles will be traveling for the same amount of time, Ambos vehículos viajarán por la misma cantidad de tiempo, so we can let x represent time for both cars. entonces podemos dejar que 'x' represente el tiempo para ambos autos. There is a relationship between the distance the cars travel Existe una relación entre la distancia que recorren los autos because we know that car two travels porque sabemos que el auto dos viaja three miles per hour faster than car one. tres millas por hora más rápido que el auto uno. In other words, car two will be at a further distance En otras palabras, el auto dos estará a una mayor distancia than car one after x hours. que el auto uno después de 'x' horas. We want to know how long it will take Queremos saber cuanto tomará for that distance between the two vehicles to be 12 miles. que la distancia entre los dos vehículos sea de 12 millas. Here we have a sketch Aquí tenemos un boceto that can help us analyze the situation. que nos puede ayudar a analizar la situación. You can see that car two at 55 miles per hour Puedes ver que el auto dos a 55 millas por hora has traveled 12 miles further ha viajado 12 millas más than car one at 52 miles per hour. que el auto uno a 52 millas por hora. The distance between the two cars is 12 miles. La distancia entre los dos autos es de 12 millas. How would you set up the equation? ¿Cómo establecerías la ecuación? Our equation is 55x - 52x = 12. Nuestra ecuación es 55x - 52x = 12. Combining like terms results in 3x = 12. La combinación de términos semejantes da como resultado 3x = 12. Dividing both sides by 3 gives us x is 4. Dividiendo ambos lados entre 3 nos da que 'x' es 4. With our graphic organizer, Con nuestro organizador gráfico, we will not forget what x represents in our equation. no olvidaremos lo que representa 'x' en nuestra ecuación. We see here x is the time traveled for both vehicles. Vemos aquí que 'x' es el tiempo de viaje de ambos vehículos. After four hours, the cars are 12 miles apart. Después de cuatro horas, los autos están a 12 millas de distancia. We want to check this answer, Queremos verificar esta respuesta, and we can do this by determining how many miles y podemos hacer esto determinando cuántas millas each car has driven after four hours. cada auto ha conducido después de cuatro horas. We know there should be a difference of 12 miles Sabemos que debe haber una diferencia de 12 millas between the two cars if we solve the problem correctly. entre los dos autos si resolvemos el problema correctamente. Car one traveled at 52 miles per hour for four hours. El auto uno viajó a 52 millas por hora durante cuatro horas. Using distance = rate X time, Usando distancia es igual a la velocidad por el tiempo, car one traveled 208 miles while car two traveled 220 miles. el auto uno viajó 208 millas mientras que el auto dos viajó 220 millas. These distances are 12 miles apart, Estas distancias están separadas por 12 millas, so we know we solved this application correctly. sabemos que resolvimos esta aplicación correctamente. We have time for one more application example. Tenemos tiempo para un ejemplo de aplicación más. Felix and Enzo were riding bikes along a straight trail. Félix y Enzo andaban en bicicleta por un sendero recto. They began at the same place Comenzaron en el mismo lugar and traveled in opposite directions. y viajaron en direcciones opuestas. Felix's speed was two miles per hour La velocidad de Félix era dos millas por hora slower than Enzo's speed. más lenta que la velocidad de Enzo. If they were 50 miles apart after 2.5 hours, Si estuvieran a 50 millas de distancia después de 2,5 horas, what was the speed of each bicyclist? ¿cuál fue la velocidad de cada ciclista? We are asked to find each cyclist's speed Se nos pide encontrar la velocidad de cada ciclista or rate in miles per hour. o tasa en millas por hora. In algebra, when we do not know something, En álgebra, cuando no sabemos algo, we can use a variable to represent the unknown. podemos usar una variable para representar lo desconocido. Here we will let Enzo's speed be x. Aquí dejaremos que la velocidad de Enzo sea 'x'. Remember, Felix travels two miles per hour slower than Enzo. Recuerda, Félix viaja dos millas por hora más lento que Enzo. How can we represent Felix's speed ¿Cómo podemos representar la velocidad de Félix in terms of Enzo's speed of x? en términos de la velocidad de 'x' de Enzo? Enzo's rate is x miles per hour and Felix's rate La velocidad de Enzo es 'x' millas por hora y la velocidad de Félix is x minus 2 miles per hour. es 'x' menos 2 millas por hora. We note this information on our table Anotamos esta información en nuestra tabla that helps us keep our information organized. que nos ayuda a mantener nuestra información organizada. We also know the time they both travel is 2.5 hours. También sabemos que el tiempo en que ambos viajan es de 2,5 horas. Now we use the relationship between distance, rate, and time Ahora usamos la relación entre distancia, velocidad y tiempo to write an expression for each cyclist's distance. para escribir una expresión para la distancia de cada ciclista. Felix's distance is the product of his speed or rate La distancia de Félix es el producto de su velocidad o velocidad and time traveled. y el tiempo viajado. The rate of x - 2 should be set next to the time La velocidad de 'x' - 2 debe establecerse al lado del tiempo to show multiplication, para mostrar la multiplicación, and we use grouping symbols like parentheses y usamos símbolos de agrupación como paréntesis to show Felix's rate as an expression, para mostrar la velocidad de Félix como una expresión, 2.5 times the difference of x and 2. 2,5 veces la diferencia de 'x' y 2. Enzo's distance can also be expressed La distancia de Enzo también se puede expresar by showing multiplication between his rate and time, 2.5x. mostrando la multiplicación entre su velocidad y el tiempo, 2,5x. We know that Felix and Enzo start their journey Sabemos que Félix y Enzo inician su viaje in the same place and travel in opposite directions. en el mismo lugar y viajan en direcciones opuestas. We want to know how fast they will move Queremos saber qué tan rápido se moverán to reach a total distance between them of 50 miles. para llegar a una distancia total entre ellos de 50 millas. Since this is a total distance between them, Como esta es una distancia total entre ellos, we can set the sum of their distances equal to 50 and solve. podemos igualar la suma de sus distancias a 50 y resolver. To solve for x, Enzo's rate, Para resolver 'x', la velocidad de Enzo, we must distribute the 2.5 times the x and the -2. debemos repartir el 2,5 por la 'x' y el -2. Remember, when you distribute Recuerda, cuando distribuyes and there is a subtraction sign inside of the parentheses, y hay un signo de resta dentro de los paréntesis, it is like multiplying by a negative factor. es como multiplicar por un factor negativo. Now we have 2.5x + 2.5x - 5 = 50 Ahora tenemos 2,5x + 2,5x - 5 = 50 Combining like terms gives us 5x - 5 = 50. La combinación de términos semejantes nos da 5x - 5 = 50. Adding the 5 to both sides to isolate the variable Sumando el 5 a ambos lados para aislar la variable gives us 5x = 55. nos da 5x = 55. Finally, when we divide both sides Finalmente, cuando dividimos ambos lados by the variable's coefficient of 5, por el coeficiente de la variable de 5, we arrive at our solution, x = 11. llegamos a nuestra solución, 'x' = 11. As with most application problems, Como con la mayor��a de los problemas de aplicación, finishing the math does not always mean we are finished. terminar las matemáticas no siempre significa que hemos terminado. Remember, we were asked to find both cyclists' speeds. Recuerda, nos pidieron encontrar las velocidades de ambos ciclistas. X represents Enzo's speed, 'X' representa la velocidad de Enzo, so Enzo traveled at a rate of 11 miles per hour. entonces Enzo viajó a una velocidad de 11 millas por hora. Felix's speed was two miles per hour slower than Enzo, La velocidad de Félix era dos millas por hora más lenta que la de Enzo, so 2 less than 11 is 9 miles per hour. entonces 2 menos que 11 son 9 millas por hora. Let's take a moment to determine if this answer makes sense. Tomemos un momento para determinar si esta respuesta tiene sentido. Felix traveled at a rate of 9 miles per hour for 2.5 hours. Félix viajó a una velocidad de 9 millas por hora durante 2,5 horas. Our formula of distance = rate X time Nuestra fórmula de distancia es igual a la velocidad por el tiempo leads us to a distance traveled of 9 X 2.5, or 22.5 miles. nos lleva a una distancia recorrida de 9 por 2,5, o 22,5 millas. Enzo traveled for 2.5 hours at a rate of 11 miles per hour, Enzo viajó durante 2,5 horas a una velocidad de 11 millas por hora, resulting in a total distance of 27.5 miles. resultando en una distancia total de 27,5 millas. Felix traveled for 22.5 miles plus Enzo's 27.5 miles Félix viajó 22,5 millas más las 27,5 millas de Enzo together adds to the total 50 miles traveled. juntos se suma al total de 50 millas recorridas. We have solved the application Hemos resuelto la aplicación and confirmed our answer is correct. y confirmado que nuestra respuesta es correcta. Now that you have seen and worked through these examples, Ahora que has visto y trabajado estos ejemplos, try some problems on your own. intenta algunos problemas por tu cuenta.