All right, now let's look at a division example. Bueno, ahora veamos un ejemplo de división. Let's suppose we have x to the fifth, and this time I'm dividing by x cubed. Supongamos que tenemos x elevado al quinto poder, y esta vez estoy dividiendo por x al cubo. Well, let's use our rules for exponents again. Let's use a definition. Bueno, utilicemos nuestras reglas para exponentes de nuevo. Utilicemos una definición. x to the fifth means five factors of x, so there's five factors of x. x elevado al quinto poder significa cinco factores de x, así que ahí hay cinco factores de x. x cubed means three factors of x, so one factor, two factors, and then there's three factors. x al cubo significa tres factores de x, así que un factor, dos factores, y luego ahí hay tres factores. Since we're dividing, we can divide out common factors. Como estamos dividiendo, podemos al hacerlo extraer factores comunes. Notice we've a common factor of x, and then again, and again. Noten que tengo un factor común de x, y luego de nuevo, y de nuevo. I'm left with x times x, which is x squared, over one, which I can write as x squared. Me quedo con x por x, que es x al cuadrado, sobre uno, que puedo escribir como x al cuadrado. Again in mathematics, we'd like to come up with a rule, so that we can begin at this, De nuevo en matemáticas, quisiéramos obtener una regla, para poder empezar aquí, and go directly at the quotient without taking this intermediate step. e ir directamente al cociente sin tener que tomar este paso intermedio. Well, notice we're dividing. Notice the bases are the same, Bueno, noten que estamos dividiendo. Noten que las bases son las mismas, and the quotient does contain that same base. y que el cociente si contiene esa misma base. How do the exponents compare to the exponent of the quotient? ¿Cómo se comparan los exponentes al exponente del cociente? Well, five minus three is two. So, it looks like that will be our quotient rule for exponents. Bueno, cinco menos tres es dos. Así que, parece ser que esa será nuestra regla de cocientes para exponentes. Let's look at our quotient rule. Again, a quotient rule for exponents. Veamos de nuevo nuestra regla de cocientes. De nuevo, una regla de cocientes para exponentes. If and m are natural numbers with m greater than n and a is any number not equal to zero, Si m y n son números naturales con m mayor que n y a es cualquier número que no sea igual a cero, then it is true that a raised to the mth power over a to the nth power entonces es verdad que a elevado al poder de m sobre a elevado poder de n equals a raised to a power of m minus n, the difference of the exponents. es igual a a elevado al poder de m menos n, la diferencia de los exponentes. All right, let's practice applying the quotient rule. Bueno, practiquemos aplicando la regla de cocientes. Let's suppose I have x to the twelfth divided by x. Supongamos que tengo x elevado al doceavo poder dividido por x. By the quotient rule, I'm dividing. The bases are the same. De acuerdo a la regla de cocientes, estoy dividiendo. Las bases son las mismas. The quotient then, is the base raised to a power equal to the difference of the exponents. El cociente entonces, es la base elevada a un poder igual a la diferencia de los exponentes. And don't forget, there's an understood exponent of one. Y no olviden que hay un exponente sobreentendido de uno. So, this is x raised to a power of twelve minus one, or x to the eleventh power. Así que, esto es x elevado a un poder de doce menos uno, o x elevado al onceavo poder. All right, let's practice this again. We're using the quotient rule. Bueno, practiquemos esto de nuevo. Estamos utilizando la regla de cocientes. Let's suppose we have a to the fourth b to the seventh, over ab to the fourth. Supongamos que tenemos a elevado al cuarto poder b elevado al séptimo poder, sobre ab elevado al cuarto poder. By the quotient rule, this is a raised to a power equal to four minus the understood exponent of one. De acuerdo a la regla de cocientes, esto es a elevado a un poder igual a cuatro menos el exponente sobreentendido de uno. And then b raised to a power equal to seven minus four. Y luego b elevado a un poder igual a siete menos cuatro. Again, we're using the quotient rule. So, this is a cubed, four minus one is three, and b. De nuevo, estamos utilizando la regla de cocientes. Así que, esto es a al cubo, cuatro menos uno es tres, y b. Seven minus four is three. The quotient is a cubed b cubed. Siete menos cuatro es tres. El cociente es a al cubo b al cubo. And that is the quotient, once we perform this division. Y ese es el cociente, una vez que realizamos esta división. All right, let's continue using these properties. Bueno, continuemos utilizando estas propiedades. Let's suppose I have twenty x to the seventh, over four x to the sixth. Supongamos que tengo veinte x elevado al séptimo poder, sobre cuatro x elevado al sexto poder. Well, we know twenty divided by four is five. So, twenty divided by four is five. Bueno, sabemos que veinte dividido por cuatro es cinco. Así que, veinte dividido por cuatro es cinco. Then I'm dividing. Remember our bases are the same, so we use the quotient rule. Entonces estoy dividiendo. Recuerden que nuestras bases son las mismas, así que utilizamos la regla de cocientes. This is x raised to a power of seven minus six. Esto es x elevado a un poder de siete menos seis. So, this is five x to a power of, seven minus six is one. We can write it as five x to the one. Así que, esto es cinco x elevado a un poder de, siete menos seis es uno. Podemos escribirlo como cinco x elevado al poder de uno. Or we can write it as simply five x, again the quotient rule. O podemos escribirlo simplemente como cinco x, de nuevo la regla de cocientes. All right, let's suppose we have forty-eight y to the seventh y to the sixth, Bueno, supongamos que tenemos cuarenta y ocho y elevado al séptimo poder y elevado al sexto poder, over eight y to the eighth. sobre ocho y elevado al octavo poder. Forty-eight y to the seventh y to the sixth, over eight y to the eighth. Cuarenta y ocho y elevado al séptimo poder y elevado al sexto poder, sobre ocho y elevado al octavo poder. I want to simplify this expression. Well, forty-eight divided by eight is six. Quiero simplificar esta expresión. Bueno, cuarenta y ocho dividido por ocho es seis. Then let's go ahead and first use the product rule for exponents. Luego sigamos adelante y primero utilicemos la regla de productos para exponentes. This would be y raised to a power of seven plus six, or thirteen. Esto sería y elevado al un poder de siete más seis, o trece. And then I still have y to the eighth, forty-eight divided by eight, that's six, Y luego todavía tengo y elevado al octavo poder, cuarenta y ocho dividido por ocho, eso es seis, y to the seventh times y to the sixth is y to the thirteenth. y elevado al séptimo poder por y elevado al sexto poder es y elevado al poder de trece. The we'll have six y raised to a power of thirteen minus eight. Entonces vamos a tener seis y elevado a un poder de trece menos ocho. And thirteen minus eight is five. Y trece menos ocho es cinco. So the answer, once this expression has been simplified, is six y to the fifth. Así que la respuesta, una vez que esta expresión ha sido simplificada, es seis y elevado al quinto poder. All right, let's practice this one more time, and then we'll look at the zero exponent. Bueno, practiquemos esto una vez más, y luego vamos a ver el exponente cero. Let's suppose we have three a to fifth b to the fourth c to the eighth, Supongamos que tenemos tres a elevado al quinto poder b elevado al cuarto poder c elevado al octavo poder, divided by fifteen a to the fourth bc squared. dividido por quince a elevado al cuarto poder bc al cuadrado. All right, well we know three and fifteen have a common factor of five. Bueno, pues sabemos que tres y quince tienen un factor común de cinco. In other words, three over fifteen does simplify to one-fifth. En otras palabras, tres sobre quince se simplifica a un-quinto. Then this will be, notice, same base a raised to a power of five minus four, or one. Entonces esto será, noten, la misma base de a elevada a un poder de cinco menos cuatro, o uno. Same base b raised to a power of four minus an understood power of one, or three. La misma base de b elevada a un poder de cuatro menos un poder sobreestimado de uno, o tres. And then, same base again c raised to a power of eight minus two, or six. Y luego, la misma base de nuevo de c elevada a un poder de ocho menos dos, o seis. So, this simplifies to one-fifth a to the one b cubed c to the sixth. Así que, esto se simplifica a un-quinto a elevado al poder de uno b al cubo c elevado al sexto poder. Or you can write this as ab cubed c to the sixth over five. Either way, these are equivalent. O pueden escribir esto como ab al cubo c elevado al sexto poder sobre cinco. De cualquier manera, estos son equivalentes.